
\prob{0061}{分式最值II}

求关于$x$的分式
\[ \frac{6x^2 + 12x + 5}{x^2 + 2x + 2} \]
的最小值。
\problabels{yellow/代数, green/最值问题}

\ans{原式最小值为$-1$。}

\subsection{直接求导}

\begin{align*}
  \text{原式} &= \frac{6(x^2 + 2x + 2) - 7}{x^2 + 2x + 2} \\
  &= 6 - \frac7{x^2 + 2x + 2} \\
  \frac{\dif\text{原式}}{\dif x} &= \frac{7(2x + 2)}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} \\
\end{align*}
当原式取极值时，$\sfrac{\dif\text{原式}}{\dif x} = 0$，即
\begin{align*}
  7(2x + 2) &= 0 \\
  x &= -1 \\
\end{align*}
代入得原式最小值为$-1$。

\subsection{代数变换}

\begin{align*}
  \text{原式} &= \frac{6(x^2 + 2x + 2) - 7}{x^2 + 2x + 2} \\
  &= 6 - \frac7{x^2 + 2x + 2} \\
\end{align*}
故当$x^2 + 2x + 2$越小时，原式越大。$x^2 + 2x + 2$最小时$x = -\sfrac b{2a} = -1$，代入得其最小值为$1$。将此代入原式得原式最小值为$-1$。
